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科学网泛维矩阵的数学理论

文章出处:angel人气:发表时间:2019-06-09 21:59【

泛维矩阵的数学理论

 

 

矩阵理论无论对自然科学还是数学本身,都是最重要的基本工具之一。 矩阵的概念早已有之,它就诞生于我们的祖国。在Katz的数学史一书中指出:“矩阵的概念有很长的历史,它至少可以追遡到汉朝,中国的学者为解线性方程组而引进了矩阵 [1]。”而矩阵理论真正成为一个数学分支还主要是在十九世纪,由于 A. Cayley, J.J. Sylvester, G. Frobenius, 等人的工作。

 

虽然矩阵理论是一个非常有用的工具,但它仍有一些弱点。首先,从计算角度看, 它不像数的运算那样具有一般性。主要区别在于  (i)  矩阵乘法有维数限制; (ii) 矩阵乘法不可交换。其次,从应用角度看,矩阵(以及作为它特例的向量) 在描述和研究一维或二维数组时十分有效。但是,如果讨论高维数组,矩阵方法并不方便。

 

因此,上个世纪八十年代,一些学者提出用“立体矩阵”来刻画三维数组。立体矩阵公式复杂,并且无法推广到更高维数组中去。还有如多边矩阵理论等,试图解决这些问题。

虽然立体矩阵甚至多边矩阵都得到了一些应用,但由于其计算上的复杂性妨碍了它们的发展。

 

经过若干年的前期探索,矩阵半张量积理论于 2001 年被正式推出 [2] 矩阵半张量积是矩阵普通乘积的一种推广,它可用于任意两个矩阵,因此突破了普通矩阵乘法的维数限制。它具有若干“交换”性质, 在一定程度上克服了矩阵乘法的不可交换性。它可以方便地应用于多线性映射,从而使矩阵方法可以有效地处理高维数组。更为突出的一个优点是,所有的普通矩阵乘法的主要性质都被这种推广保留了下来。

 

正是由于矩阵半张量积的这些优点,它出现之后迅速得到广泛的应用。它最初主要应用于连续动态系统的建模、控制及其数值化实现,例如在电力系统安全稳定控制中的应用[3]2008 年以后,它被用于逻辑系统的分析与控制,得到很大成功,初步形成了较完整的逻辑系统的控制理论 [4]。从2012年开始,它又被应用于有限博弈 [5,6],解决了博弈论中一些长期未决的难题,例如,势博弈的检验问题 [7],有限博弈空间的分解问题 [8,9],等。

 

目前,矩阵半张量积已被运用到众多领域的研究中,包括 (i) 逻辑动态系统,(ii) 生物系统

(基因调控网络),(iii) 图论与队型控制,(iv) 线路设计与故障检测, (v) 有限自动机与

符号动力学,(vi) 密码学与编码,(vii) 模糊系统控制,等。 此外,它还被成功地应用于电

力系统,混合动力机车等工程问题的设计中。更多的情况可参考一些国内、外学者关于矩阵

半张量积的综述文章 [10,11,12]

 

矩阵半张量积的研究队伍正不断扩大,相关论文上千篇,作者包括(不完全统计) 国内单位:北京大学、清华大学、哈尔滨工业大学、哈尔滨工程大学、东北大学、青岛海洋大学、北京理工大学、北京邮电大学、南开大学、山东大学、山东师范大学、聊城大学、上海交通大学、同济大学、东南大学、南京师范大学、成都电子科技大学、中南大京、华南理工大学、浙江师范大学、华东科技大学、山东科技大学、河北工业大学、中科院系统所、中科院信息安全所, 等。国际学者来自意大利、以色列、日本、美国、英国、俄罗斯、瑞典、南非、德国,澳大利亚,匈牙利,新加坡、伊朗、沙特阿拉伯, 等。

 

到目前为止,关于矩阵半张量积的研究主要集中于它的应用。在它的发展过程中也遇到许多质疑:包括它的原创性,它的合理性,等等。特别是关于它的数学内涵的质疑,让我们开始探索矩阵半张量积背后的数学 —— 究竟矩阵半张量积会带来什么样的新的数学结构?本文的目的是向大家汇报一下我们近两、三年在这方面十分初步的一些工作。本文介绍的内容

大多可在我们的长文 [13] 和专著 [14] 中找到。